Как да намерите остър ъгъл на паралелограма?

Едно паралелограма е четириъгълник, в който противоположните страни са двойно успоредни.

Едно паралелограм има всички свойства на квадратъгълниците, но също така има свои собствени отличителни черти. Познавайки ги, лесно можем да намерим както страните, така и ъглите на паралелограма.

Характеристики на паралелограма

1. Сумата от ъглите във всеки паралелограм, както във всеки четириъгълник, е 360 °.
2. Средните линии на паралелограма и неговият диагонал се пресичат в една точка и го разделят на половина. Тази точка обикновено се нарича център на симетрия на паралелограма.
3. Задните страни на паралелограма са винаги еднакви.
4. Също така тази фигура винаги има противоположни ъгли.
5. Сумата от ъглите, които са съседни на двете страни на паралелограма, е винаги 180 °.
6. Сумата от квадратите на диагоналите на паралелограма е равна на два пъти сумата от квадратите на двете съседни страни. Това се изразява чрез формулата:
   • г₁² + d₂² = 2 (а²+ b²), където г₁ и d₂ - диагонали, а и б - съседни страни.
7. Косинусът на тъпият ъгъл винаги е по-малък от нула.

Как да намерите ъглите на даден паралелограм,прилагане на тези свойства на практика? И какви други формули могат да ни помогнат в това? Да разгледаме конкретни задачи, които изискват: да се намерят ъглите на паралелограма.

Намиране на ъглите на паралелограма

Дело 1. Известно е мярката на тъпия ъгъл, изисква се остър ъгъл.

Пример: В паралелограма ABCD, ъгълът А е 120 °. Намерете мярката на другите ъгли.

решение: Използвайки свойство № 5, можем да намерим мярката на ъгъла B в съседство с ъгъла, посочен в проблема. То ще бъде равно на:

• 180 ° -120 ° = 60 °

И сега, като използваме имот номер 4, ние определяме,че двата останали ъгъла C и D са противоположни на онези, които вече сме намерили. Ъгъл С е противоположен на ъгъла А, ъгълът D към ъгъла B. Следователно те са двойно равни на тях.

• Отговор: В = 60 °, С = 120 °, D = 60 °

Случай 2. Страните и диагоналите са известни

В този случай трябва да използваме косинусовата теорема.

Ние можем да първо формула за изчисляване на косинус на ъгъла необходимо за нас, и след това да се намери на специална маса, която е равна на себе си ъгъл.

При остър ъгъл формулата е:

• cosa = (А2 + В2 - d2) / (2 * А * В), където
• а е желаният остър ъгъл,
• А и В са страните на паралелограма,
• d - по-малък диагонал

За тъп ъгъл формулата се променя леко:

• cosß = (А2 + В2 - D2) / (2 * А * В), където
• ß е тъп ъгъл,
• А и В са страни,
• D - голям диагонал

Пример: е необходимо да се намери остър ъгъл на паралелограма, чиито страни са 6 см и 3 см, а по-малкият диагонал е 5.2 см

Заменете стойностите във формулата, за да откриете острия ъгъл:

• cosa = (6² + 3² - 5.2²) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. Според таблицата откриваме, че изискваният ъгъл е 60 °.
• Отговор: 60 °