Знаци на приликата на триъгълници
Признаци на приликата на два триъгълника са такива геометрични особености, които ни позволяват да установим, че два определени триъгълника са еднакви един с друг, без да обмислят всички елементи.
Теорема 1
Първият знак за приликата на два триъгълника
Триъгълниците са подобни, ако поне два ъгъла в триъгълник са съответно равни на два ъгъла в друг триъгълник.
доказателства
Ако са дадени два триъгълника: ABC и A1B1C1, където ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1. Тогава се оказва, че ∠C и ∠C1 също са равни. Нека докажем сходството на △ ABC и △ A1B1C1.
Ако отложим от страна на VA сегмент BA2, койтоще бъде равен на сегмента A1B1, и след това ще нарисуваме права линия през точката А2, която ще бъде успоредна на права линия AC. Тогава тази линия ще прекъсне сегмента BC в точката, която наричаме C2. Така че, триъгълници и A2VS2 A1V1S1 са: A2B = A1B1 от строителството ∠V1 = ∠V за състоянието и ∠A2 = ∠A1 като ∠A = ∠A1 за състоянието и ∠A2 = ∠A като съответните ъгли. Съгласно Лема 1 на подобни триъгълници (линия, която е успоредна на едната страна на триъгълника и пресича другите две страни на това, отрязва триъгълник, която е подобна на тази), имаме: △ ABC ~ △ A2BC2 следователно △ A1B1C1 ~ △ ABC. Следователно теоремата е доказана. Теореми 2 и 3 се доказват от подобна схема.
Теорема 2
Вторият знак за приликата на триъгълници.
Триъгълниците се считат за подобни, ако две от тяхстраните на един триъгълник ще бъдат пропорционални на двете страни на втория триъгълник, съответно. Също така трябва да се спази условието за равенство на ъглите между тези страни.
Теорема 3
Третият знак за приликата на триъгълници.
Триъгълниците се считат за подобни, ако се наблюдава условието за пропорционалност на трите страни на единия от тях към трите страни на втората.
Следствие 1 на теорема 1. Ако разгледаме такива триъгълници, тогава техните подобни страни ще бъдат пропорционални на височините, които ще бъдат пропуснати от подобни страни.
Знаци за приликата на триъгълници с прави ъгъл
- правоъгълните триъгълници се считат за подобни, ако катетът и хипотенузата на единия от тях са пропорционални на крака и хипотенузата на втория триъгълник;
- правоъгълни триъгълници се считат за подобни, ако остър ъгъл на единия от тях е равен на острия ъгъл на втория триъгълник.
Знаци на приликата на триъгълниците в примерите
Пример 1
Необходимо е да се намери дължината на сегмента KP, ако е известна,че в триъгълника ABC, дължината на страната АС е десет, а от страната AB има определена точка К, но AK = 2, BK = 3. Правата линия се изчертава през точката K, която е успоредна на AC. Точката P се намира на кръстовището му със страната BC. Това е ситуацията, когато се използват признаци на прилика на триъгълници. Урок с подобен проблем винаги се среща във всяко училище. Така че, ако в триъгълника има права линия, изчертана успоредно на едната страна, се образува триъгълник, подобен на този. Триъгълникът CBS е подобен на триъгълника ABC. Доказвайки това, ние отбелязваме, че ъгълът на SRS е равен на ъгъла на BAC. С оглед на факта, че това са съответните ъгли, които се намират с паралелни RS и AC и secant AK. В допълнение, ъгълът B е общ ъгъл, и следователно, трети ъгли са равни, ъгълът на BPM и BCA. Така, според теоремата за първия критерий за приликата на триъгълници, ABC е подобна на ∠CR. От това следва, че KP / AC, страните, разположени срещу ∠B, е равна на VK / Va страна, страните, които лежат срещу равните ∠P и ∠C. Следователно, ние намираме сегмента BA чрез добавяне на BK и AK. Заменяме данните, получаваме: KR / 10 = 3/5, т.е. KP = 6
Пример 2
Нека в триъгълниците ABC и A1B1C1, ∠B = ∠B1. Страните AB, BC в триъгълника ABC са 2,5 пъти по-големи от страните A1B1, B1C1, които са в триъгълника A1B1C1. Необходимо е да се намерят AC и A1C1, при условие че тяхната сума е 4,2 м. Решение. При условието на проблема пишем:
- ∠B = ∠B1;
- AB / A1B1 = BC / B1C1 = 2.5 Следователно, △ ABC △ A1B1C1. С втория знак на приликата на триъгълници.
- AC + A1C1 = 4,2m. От сходството на триъгълници получи следствие AC / A1C1 = 2,5, или 2,5xA1S1 Ако AC = AC = 2,5 х A1C1, A1C1 АС + = 2,5 х A1C1 + A1C1 = 4,2, така AC = 3 (т), A1C1 = 1,2 (m).
Пример 3
Необходимо е да разберете дали триъгълниците са подобниA1B1C1 и ABC, ако cm, BC = 5 cm, AB = 3, AC = 7 cm, B1C1 = 7,5 cm, A1B1 = 4,5 cm, A1C1 = 10,5 cm? Решението. BC / B1C1 = 5 / 7,5 = 1 / 1,5 AB / A1B1 = 3 / 4,5 = 1 / 1,5 AC / A1C1 = 7 / 10,5 = 1 / 1,5
Следователно, с третия знак, триъгълниците са подобни.
