Как да намерим дериватите?

Проблемът при намирането на производно на дадена функцияе едно от основните курсове по математика в гимназията и висшето образование. Невъзможно е напълно да се изследва функция, да се конструира графиката й, без да се взема нейното производно. Производството на функция лесно може да се намери чрез познаване на основните правила за диференциация, както и на таблицата на производните на основните функции. Нека да разберем как да намерим производната на дадена функция.

Деривативната функция е границата на съотношението на нарастването на функция към нарастването на аргумента, когато нарастването на аргумента има тенденция към нула.

Това определение е доста трудно да се разбере, тъй катоконцепцията за лимит не е напълно проучена в училище. Но за да намерим дериватите на различни функции, не е необходимо да разбираме дефиницията, да я оставим на специалистите на математиците и да отидем направо да намерим дериватите.

Процесът на намиране на производно се нарича диференциация. Когато функцията е диференцирана, получаваме нова функция.

За обозначенията им ще използваме латинските букви f, g и т.н.

Има много различни означения за деривати. Ще използваме удара. Например, g "означава, че ще намерим производното на g.

Таблицата на дериватите

За да отговорите на въпроса как да намеритедериватив, е необходимо да се донесе таблицата на дериватите на основните функции. За да се изчислят дериватите на елементарните функции, не е необходимо да се правят сложни изчисления. Достатъчно е просто да видите стойността му в таблицата с деривати.

С "= 0
(sin x) "= cos x
(cos x) "= -за x
(х^п) "= n х^N-1
(д^х) "= e^х
(ln x) "= 1 / х
(а^х) "= a^хВ а
(дневник_ах) "= 1 / х в а
(tan x) "= 1 / cos²х
(ctg x) "= - 1 / sin²х
(arcsin х) "= 1 / √ (1-х²)
(arccos x) "= - 1 / √ (1-х²)
(arctg х) "= 1 / (1 + х²)
(arcctg х) "= - 1 / (1 + х²)

Пример 1. Намерете деривацията на функцията y = 500.

Виждаме, че това е постоянно. Съгласно таблицата на производните, е известно, че производното на константата е нула (формула 1).

(500) "= 0

Пример 2. Намерете производната на функцията y = x¹⁰⁰.

Това е функция на мощността, в която 100 е показател и за да намериш производната си, трябва да умножиш функцията с експонента и да намалиш с 1 (формула 3).

(х¹⁰⁰) "= 100 х⁹⁹

Пример 3. Намерете производната на функцията y = 5^х

Това е експоненциална функция, изчисляваме нейното производно по формулата 4.

(5^х) "= 5^хlN5

Пример 4. Намерете производната на функцията y = log₄х

Производното на логаритъма се намира от формулата 7.

(дневник₄х) "= 1 / х ln 4

Правила за диференциация

Нека сега разберем как да намеримдеривацията на функцията, ако тя не е в таблицата. Повечето от изследваните функции не са елементарни, а са комбинации от елементарни функции с помощта на най-прости операции (добавяне, изваждане, умножение, разделяне и умножаване по число). За да открият своите производни, човек трябва да знае правилата за диференциация. Освен това буквите f и g обозначават функциите и С е константа.

1. Константният коефициент може да бъде взет като знак на дериватното

(Cf) "= Cf"

Пример 5. Намерете производната на функцията y = 6 * x⁸

Получаваме постоянния коефициент 6 и различаваме само х⁴, Това е функция на захранването, чието производно се намира от формулата 3 на таблицата с деривати.

(6 х х⁸) "= 6 * (х⁸) "= 6 * 8 * х⁷= 48 * х⁷

2. Производството на сумата е равно на сумата на дериватите

След това:

(f + g) "= f" + g "

Пример 6. Намерете деривацията на функцията y = x¹⁰⁰+ sin x

Функцията е сумата от две функции, чиито производни могат да бъдат намерени от таблицата. Тъй като (х¹⁰⁰) "= 100 х⁹⁹ и (sin x) "= cos x. Производството на сумата ще бъде равно на сумата от тези деривати:

(х¹⁰⁰+ sin х) "= 100 х⁹⁹+ cos x

3. Производството на разликата е равно на разликата между дериватите

(f - g) "= f" - g "

Пример 7. Намерете деривацията на функцията y = x¹⁰⁰ - cos x

Тази функция е разликата от двефункции, чиито производни можем да намерим и от таблицата. Тогава производното на разликата е равно на разликата в дериватите и няма да забравяме да сменим знака, тъй като (cos x) "= - sin x.

(х¹⁰⁰ - cos x) "= 100 х⁹⁹ + sin x

Пример 8. Намерете производната на функцията y = e^х+ tg х-х².

В тази функция има сума и разлика, намираме дериватите на всеки термин:

(д^х) "= e^х, (tgx) "= 1 / cos²х, (х²) "= 2. Тогава производното на началната функция е равно на:

(д^х+ tg х-х²) "= e^х+ 1 / cos²х -2 х

4. Производството на произведение

(f * g) "= f" * g + f * g "

Пример 9. Намерете производната на функцията y = cos x * e^х

За да направим това, първо откриваме производното на всеки фактор (cos x) "= - sin x и (e^х) "= e^х, Сега ще заменим всичко във формулата на продукта. Ние умножаваме производното на първата функция по втората и добавяме продукта на първата функция към производното на втората.

(cos x * e^х) "= e^хcos x - д^х* sin sin

5. Производството на конкретно

След това:

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g²

Пример 10. Намерете деривацията на функцията y = x⁵⁰/ sin x

За да намерим производното на коефициента, първо откриваме деривацията на числителя и знаменателя отделно: (x⁵⁰) "= 50 х⁴⁹ и (sin x) "= cos x Заместване на производното на коефициента във формулата получаваме:

(х⁵⁰/ sin sin x) "= 50х⁴⁹* sin x - x⁵⁰* cos x / sin²х